Азамат Салимбаев родился 20 июля 1985 года в Бескарагайском районе Восточно-Казахстанской области.
Образование высшее: в 2007 году окончил Атырауский государственный университет имени Х. Досмухамедова по специальности «Экономика».
Трудовую деятельность начал в 2007 году с должности главного специалиста финансового отдела Департамента энергетики и коммунального хозяйства Атырауской области.
С 2008 по 2020 годы работал на различных должностях в Министерстве экономики и бюджетного планирования РК, Министерстве финансов РК – от эксперта до руководителя управления.
С апреля 2020 года по март 2021 года руководил Управлением Экономики и бюджетного планирования Атырауской области и, до назначения на новую дожность, работал советником акима области.